Формула Пика — красивейший результат комбинаторной геометрии, который знает и применяет почти каждый абитуриент. Но почему она везде фигурирует без доказательства? Может, оно очень сложное? Может, формула и не доказана вовсе?
0:00 — Предыстория
0:30 — Формула Пика
0:45 — Где нельзя ее применять
1:07 — Где можно ее применять
1:23 — Доказательство. Шаг 1: аддитивность
3:03 — Доказательство. Шаг 2: триангуляция
4:20 — Вопрос для самых смышленых!
В этом ролике иллюстрирую элементарное доказательство формулы Пика, которое доступно даже восьмикласснику! Рассмотрим любопытные примеры, когда формулу можно использовать, а когда нет.
Формулировка теоремы. Площадь многоугольника с целыми вершинами и без самопересечений определяется формулой S=i+b/2-1, где i — количество целых точек внутри многоугольника, b — количество целых точек на его границе.
ПОДРОБНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(четвертая минута видео)
1) Пусть стороны прямоугольника ABCD параллельны линиям сетки, а вершины находятся в целых точках. Тогда диагональ BD делит прямоугольник на два равных треугольника ABD и BCD: количество внутренних целых точек и граничных целых точек у этих треугольников равное.
2) Мы предварительно доказали, что формула Пика верна для ABCD, а также свойство аддитивности.
3) Предположим, формула Пика дает для ABD площадь больше, чем она есть на самом деле. Тогда и для BCD она дает результат больший, чем на самом деле. Но из аддитивности мы знаем, что тогда формула Пика для ABCD даст площадь больше, чем на самом деле. А мы доказали, что формула Пика для ABCD дает верный результат. Противоречие.
4) Аналогично предыдущему шагу предположим, что формула Пика дает для ABD площадь меньше, чем на самом деле. Тогда площадь ABCD, рассчитанная по формуле Пика, будет меньше истинной, но мы явно доказали, что для ABCD формула работает корректно. Противоречие.
5) Значит, формула для треугольника ABD работает верно, а вместе с ним и для любых прямоугольных треугольников с целыми вершинами, катеты которых параллельны линиям сетки.
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО О МАТЕМАТИКЕ
1. Зачем нужна математика: https://youtu.be/GqZ3ZoVWI7g?t=637
2. Самая красивая формула: https://youtu.be/Rgdc6_AmDzg
3. Проблема тысячелетия: https://youtu.be/KfKcWAnsG_s
4. Как извлекать корни в столбик: https://youtu.be/2cn0Jy5uRQ0
5. Логарифмическая линейка: https://youtu.be/8MtMZv6Uluc
6. Постижение числа (feat. А.Савватеев): https://youtu.be/c1AuZAvPs_s
