Неужели все красивые факты геометрии были найдены в Древней Греции, и нам лишь остается изучать их доказательства? Вовсе нет! Давайте вспомним теоремы Морли, Тебо, Помпею, а также окружности Конвея и Ламуна
Олимпиадная математика: https://vk.com/wall-135395111_24068
Курс ЕГЭ: https://vk.com/wall-135395111_24068
Все курсы: https://vk.com/market-135395111
VK: https://vk.com/wildmathing
Задачник: https://vk.com/topic-135395111_35874038
Подсказка к теореме Помпею. Заметьте, что ∠APB = ∠ACB = 60° как вписанные.
Полное доказательство. Пусть при повороте на 60° вокруг точки A точка P перейдет в точку E. Желательно сделать рисунок, на котором E пока еще не лежит на прямой BP. Рассмотрим треугольник APE. Его стороны AP и AE равны, поскольку вторую мы получили поворотом первой. Угол A равен 60°. Значит, треугольник APE — правильный. Поэтому угол APE тоже равен 60° градусам. Но ведь и угол APB равен 60°, поскольку он опирается на ту же дугу, что и угол ACB. Значит, все-таки точка E лежит на прямой BP, ч. т. д.
Подсказка к теореме Тебо. Угол между стороной квадрата и его диагональю равен 45°. Пусть ∠BCD= γ, тогда ∠MCN=90°+ γ. ∠ABC=180°–∠BCD=180°–γ по свойству односторонних углов. С другой стороны, ∠ABC=360°–(∠CBM+∠MBL+∠LBA)=270°–∠MBL. Отсюда ∠MBL=270°–∠ABC=270°–(180°– γ )=90°+ γ=∠MCN, ч.т.д.
