— Сегодня мы посмотрим на несколько экзаменационных задач и решим их красиво, как настоящие математики!
UPD. В 4:57, конечно, имел в виду, что изогонально сопряжен ортоцентр и центр описанной окружности, по привычке назвав их H и O. Но есть маленький промах: первая из них в наших обозначениях была основанием высоты. Однако ортоцентр лежит на прямой BH, так что в итоге рассуждения верны
Поддержать канал и получить бонусы: https://boosty.to/wildmathing (либо по кнопке «Спонсировать» под видео)
Неравенство о средних: https://youtu.be/TfY3peS6OtE
Изогональное сопряжение: https://youtu.be/bNKf1Hoz_2o?t=339
Как создаю математические анимации: https://youtu.be/NsIakCeRETA
О музыке в видео: https://boosty.to/wildmathing/posts/102511b8-fd51-40e2-8e44-807c8f5aadb0
СОДЕРЖАНИЕ
0:00 — Самый трудный параметр
0:56 — Мощь гомотетии
2:12 — И еще раз гомотетия
2:54 — Оптимизация в одну строчку?
4:01 — Изогональное сопряжение
ВОПРОСЫ-ОТВЕТЫ
— Как мы нашли наименьшее значение функции левой части неравенства в №1?
— В сущности, при любом раскрытии модулей мы получим функцию y=kx+b. Что можно сказать о коэффициенте k, если x≥2? Он положителен. А если x меньше 2? Он отрицателен. Не важно при этом, как раскрывается второй модуль: 5 больше 3. То есть x=2 — точка минимума функции f(x)=5|x-2|+3|x+a|, в которой достигается ее наименьшее значение. И равно оно f(2)=3|2+a|.
— Почему в задаче №2 существует такая гомотетия?
— Мне кажется вам для полного понимания не хватает одного утверждения. Пусть при гомотетии с центром в H точка P перешла в P’, тогда точки H, P и P’ коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой). На левой окружности есть две точки: концы светлого отрезка, назовем их A и B. То, что существует гомотетия с центром в T, которая переводит левую окружность в правую — понятно. Но где находятся образы точек A и B при этой гомотетии? Они должны лежать на прямых AT и BT соответственно и в то же время — на правой окружности. Но это и означает то, что левая хорда перешла в правую. А теперь их параллельность вытекает из свойства гомотетии.
— Как оформить на экзамене решение задачи №2?
— Представьте, что светлые отрезки на рисунке (диаметры) называются AB и CD, причем BC — общая касательная; обозначим точками O₁ и O₂ центры двух окружностей Ω₁ и Ω₂ соответственно с диаметрами AB и CD в указанном порядке. Тогда в чистовую решение можно оформить следующим образом (см. дальше)
Пусть R, r — радиусы окружностей Ω₁, Ω₂ соответственно. Существует гомотетия с центром в точке T и коэффициентом -r/R, которая переводит Ω₁ в Ω₂, причем образом отрезка AB служит отрезок DC. Следовательно, отрезки AB и CD параллельны по свойству гомотетии, ч.т.д.
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО О МАТЕМАТИКЕ
1. Зачем нужна математика: https://youtu.be/GqZ3ZoVWI7g?t=637
2. Революционер в математике: https://youtu.be/lqW5VtFUeyo
3. Проблемы Гильберта: https://youtu.be/dRnh5_j0SnU
4. Теоремы XX века: https://youtu.be/PH7IDlYD7f8
5. Красивейшие фракталы: https://youtu.be/nV1IzrCVsEw
