Сегодня мы докажем красивейший геометрический факт — теорему Наполеона. Никаких векторов, никакого счета: два, пожалуй, самых изящных рассуждения, которые в три шага дают нужный результат!
Если на каждой стороне произвольного треугольника извне построить по равностороннему треугольнику, то центры этих правильных треугольников образуют также правильный треугольник. Так звучит теорема Наполеона. Того самого.
Освежите в памяти #215 выпуск — очень пригодится!
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО свойства линии центров пересекающихся окружностей. MB=MT, KB=KT (как радиусы). Треугольники MBT и KBT — равнобедренные. Проведем их медианы MB₁ и KB₁ которые по свойству равнобедренного треугольника являются также высотами. Значит, угол MB₁K является развернутым. Стало быть, линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна общей хорде и делит ее пополам, что и требовалось доказать.
ВОПРОС. А как строго доказать, что при втором повороте точка K перейдет в K₁?
ОТВЕТ. Кликните на паузу в 3:51 и посмотрите внимательно на шесть острых углов с вершиной A. Три из них равны углам исходного треугольника ABC, то есть в сумме дают 180° — это три темно-красных угла, которые чередуются через один. Еще два уголочка ZAB и CAY равны по 60° как углы правильных треугольников. Из этого следует, что последний угол, у которого розовые стороны, равен 360°–(180°+60°+60°)=60°. Это и объясняет, что и при первом, и при втором поворотах треугольник BCX переходит в один и тот же розовый треугольник с центром K₁.
0:00 — Формулировка
0:35 — Первое доказательство
2:22 — Второе доказательство
4:25 — Бонусы
4:43 — Финальная анимация
БОЖЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ:
1. Торричелли там что-то доказал: https://youtu.be/_lOH0r0i_Mc
2. Прямая и окружность Эйлера, лемма о трезубце, орототреугольник: https://youtu.be/nAObeIHc9Fk
3. Теорема Вивиани и формула Карно: https://youtu.be/0cEgxx2rWFQ
4. Теоремы Монжа, Брианшона, Дезарга: https://youtu.be/auCg56Wz6Tg
5. Красивая задача с «Всероса»: https://youtu.be/Fu0cInLK-Eo
