#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0
Разбираемся, как устроена самая красивая формула в математике: формула Эйлера e^(iπ)+1=0.
УСКОРИТЬ ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ НОВОГО ВИДЕО: http://www.donationalerts.ru/r/wildmathing
ЗАДАЧНИК КО ВСЕМ РОЛИКАМ: https://vk.com/topic-135395111_35874038
МОИ КУРСЫ: https://vk.com/market-135395111
VK: https://vk.com/wildmathing
Литература:
Зорич В.А. Математический анализ. Часть I – Изд. 8, испр. – М: МЦНМО, 2017.
UPD. На 5:25 во второй и третьей строках, пропущен квадрат у «игрека» – не судите строго! Корректный кадр здесь: https://vk.cc/8mH0xI
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО ПО ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1. Как извлекать корни в столбик: https://youtu.be/2cn0Jy5uRQ0
2. Логарифмическая линейка: https://youtu.be/8MtMZv6Uluc
3. Числа Фибоначчи: https://youtu.be/HgCck7QNbcs
4. Что больше: e^π или π^e? https://youtu.be/sCvh80kqFZg
5. Математические анекдоты: https://youtu.be/ZwSSv3BcVy4
Привет! В этом ролике мы в рамках школьной программы постараемся разобраться с тем, что такое разложение функции в ряд Тейлора (ряд Маклорена) на примере экспоненты, посмотрим на графическую связь функций и степенных рядов. Ну а в финальной стадии разберемся с известным тождеством Эйлера, которое многие математики признают самым красивым из всех.
По ходу ролика упоминается немало различных теорем из курса математического анализа, если у вас есть желание разобраться со строгим доказательством использованных утверждений, можете обратиться к книге В.А.Зорича по математическому анализу. Если вам нравится математика — обязательно подпишитесь на этот канал: здесь есть, что посмотреть!
В надежде увидеть больше зрителей, разобравшихся в содержании ролика, резюмирую и пересказываю его текстом.
СУТЬ ВКРАТЦЕ.
Мы пытаемся понять, как работает формула Тейлора (ее частный случай — формула Маклорена) на примере функции f(x)=e^x: смысл в том, что многие функции, экспоненту в частности, удается представить в иной, более удобной в некоторых задачах, форме — с помощью степенного ряда. Далее, работая в этой удобной форме, совершаем несколько нехитрых преобразований и доказываем верность равенства e^(iπ)+1=0.
КОНКРЕТНЫЕ ШАГИ.
1. Воочию убедились в существовании таких полиномов, графики функций которых могут быть сколько угодно похожими на графики функций e^x, sinx и cosx .
2. Увидели формулы, которые позволяют получить такие волшебные полиномы .
3. Пробуем разобраться с этими формулами на примере экспоненты: мы ограничились нахождением первых пяти производных у f(x)=e^x и у g(x)=a+bx+cx²+….Дифференцируем f(x) — раз, затем полученную функцию еще раз, потом еще, еще и еще… , то же самое и с g(x) — последовательно находим производные .
4. Нашли значения всех этих производных и самих функций в точке x=0: подставили вместо «икс» нолик в функции f(x) и g(x) .
3. Приравняли найденные значения (3-ий и 5-ый столбцы), тем самым нашли значения неизвестных коэффициентов a, b, c и т.д. .
5. Обобщив все это дело, получили разложение e^x в ряд, который называется рядом Маклорена. Можешь даже ставить ударение на «e», не обижусь, главное, осознать посыл: если функции, упрощенно говоря, одинаковы, то не могут быть у них разные значения производных — тоже должны быть одинаковыми .
6. С помощью все той же формулы Маклорена можно получить разложения для sinx и cosx — это предлагаю сделать в качества упражнения. Итог показываю в момент .
7. Все три представленных разложения функций e^x, sinx, cosx верны для комплексных аргументов . Почему — это отдельная история, ну а о комплексных числах кое-что рассказывал вот здесь: https://youtu.be/NFZTjsQ5il0?t=1m1s
8. Вместо z мы взяли iy для функции e^z: поскольку iy — тоже некоторый комплексный аргумент, то формулы (точнее определения) для наших функций все еще работают .
9. Сгруппировали слагаемые, и оказалось, что ряд для экспоненты от аргумента iy содержит в себе разложения для синуса и косинусов — получили тождество e^(iy)=cosy+isiny . Тут есть небольшие промахи в кадре — пропущены квадраты у игреков, исправил это здесь: https://vk.cc/8mH0xI
10. Взяли y=π, вспомнили, что cosπ=-1, sinπ=0. Значит, e^(iπ)+1=0, ч.т.д. .
Далее были шутки про пустой кошелек и прочие дела. Хэппи энд!
0:00 — Экспонента в виде ряда
0:51 — Ряды для синуса и косинуса
1:20 — Доказательство разложения e^x
4:51 — Самая красивая формула!
6:10 — Что красивого?
